Integración por sustitución
Trigonométrica
Integrantes
- Baeza González Luis Fernando
- Cel Arellano Román Alejandro
- Salgado Chacón Ricardo Manuel
- Sansores Cauich Esther Andrea
Integrantes
La integración por sustitución trigonométrica es una técnica avanzada y eficaz del cálculo integral, utilizada principalmente para resolver integrales que contienen raíces cuadradas de expresiones polinómicas. Este método se basa en el uso de identidades trigonométricas para simplificar integrales que, de otro modo, serían muy difíciles de resolver con técnicas básicas.
La clave de este procedimiento es realizar un cambio de variable en el que la variable original se sustituye por una función trigonométrica (como seno, coseno o tangente), con el fin de eliminar la raíz cuadrada y convertir la integral en una forma más manejable.
La clave de este procedimiento es realizar un cambio de variable en el que la variable original se sustituye por una función trigonométrica (como seno, coseno o tangente), con el fin de eliminar la raíz cuadrada y convertir la integral en una forma más manejable. Por ejemplo, expresiones como:
\( \sqrt{a^2 - x^2} \quad \sqrt{a^2 + x^2} \quad \sqrt{x^2 - a^2} \)
1. Identificar la forma de la integral y determinar qué sustitución trigonométrica es adecuada.
2. Realizar la sustitución trigonométrica, que implica cambiar la variable original por una función trigonométrica.
3. Calcular el diferencial de la nueva variable y sustituirlo en la integral.
4. Simplificar la integral resultante utilizando identidades trigonométricas.
5. Resolver la integral resultante utilizando técnicas de integración estándar.
6. Volver a la variable original utilizando la relación entre la variable original y la variable trigonométrica utilizada en la sustitución.
7. Simplificar la expresión final si es necesario.
8. Verificar la solución, si es posible, evaluando la integral en un intervalo específico o comparando con una solución conocida.
Para resolver la integral \( \int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx \), se utiliza la sustitución trigonométrica \( x = a \sin(\theta) \). Esto implica que \( dx = a \cos(\theta) d\theta \). Al sustituir, la integral se convierte en:
\( \int \sqrt{a^2 - a^2 \sin^2(\theta)} \cdot a \cos(\theta) d\theta = \int a^2 \cos^2(\theta) d\theta \)
Luego, se utiliza la identidad trigonométrica \( \cos^2(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} \) para simplificar la integral:
\( \int a^2 \cdot \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} d\theta = \frac{a^2}{2} \int (1 + \cos(2\theta)) d\theta \)
Al resolver la integral, se obtiene:
\( \frac{a^2}{2} \left( \theta + \frac{1}{2} \sin(2\theta) \right) + C \)
Para resolver la integral \( \int \sqrt{a^2 + x^2} \, dx \), se utiliza la sustitución trigonométrica \( x = a \tan(\theta) \). Esto implica que \( dx = a \sec^2(\theta) d\theta \). Al sustituir, la integral se convierte en:
\( \int \sqrt{a^2 + a^2 \tan^2(\theta)} \cdot a \sec^2(\theta) d\theta = \int a^2 \sec^3(\theta) d\theta \)
Luego, se utiliza la identidad trigonométrica \( \sec^3(\theta) = \sec(\theta) \cdot (1 + \tan^2(\theta)) \) para simplificar la integral:
\( \int a^2 \sec(\theta) (1 + \tan^2(\theta)) d\theta = a^2 \int \sec(\theta) d\theta + a^2 \int \sec(\theta) \tan^2(\theta) d\theta \)
Al resolver la integral, se obtiene:
\( a^2 \ln | \sec(\theta) + \tan(\theta) | + C \)
Finalmente, se vuelve a la variable original utilizando la relación \( x = a \tan(\theta) \):
\( a^2 \ln | \sqrt{a^2 + x^2} + x | + C \)
Para resolver la integral \( \int \sqrt{x^2 - a^2} \, dx \), se utiliza la sustitución trigonométrica \( x = a \sec(\theta) \). Esto implica que \( dx = a \sec(\theta) \tan(\theta) d\theta \). Al sustituir, la integral se convierte en:
\( \int \sqrt{a^2 \sec^2(\theta) - a^2} \cdot a \sec(\theta) \tan(\theta) d\theta = \int a^2 \sec^3(\theta) d\theta \)
Luego, se utiliza la identidad trigonométrica \( \sec^3(\theta) = \sec(\theta) \cdot (1 + \tan^2(\theta)) \) para simplificar la integral:
\( \int a^2 \sec(\theta) (1 + \tan^2(\theta)) d\theta = a^2 \int \sec(\theta) d\theta + a^2 \int \sec(\theta) \tan^2(\theta) d\theta \)
Al resolver la integral, se obtiene:
\( a^2 \ln | \sec(\theta) + \tan(\theta) | + C \)
Finalmente, se vuelve a la variable original utilizando la relación \( x = a \sec(\theta) \):
\( a^2 \ln | \sqrt{x^2 - a^2} + x | + C \)
En resumen, la integración por sustitución trigonométrica es una herramienta poderosa para resolver integrales que involucran raíces cuadradas de expresiones polinómicas. Al aplicar correctamente las sustituciones y simplificaciones, se pueden obtener soluciones precisas y eficientes.
Para la sustitución trigonométrica, utizaremos el teorema de pitágoras, que establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Esto se
expresa matemáticamente como:
\( a^2 = b^2 + c^2 \)
Donde:
- \( a \) es la longitud de la hipotenusa.
- \( b \) es la longitud de un cateto.
- \( c \) es la longitud del otro cateto.
Esta relación es fundamental para la sustitución trigonométrica, ya que permite relacionar las funciones trigonométricas con las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo.
Las identidades trigonométricas son relaciones matemáticas que involucran funciones trigonométricas. Estas identidades son fundamentales para simplificar expresiones y resolver ecuaciones trigonométricas.
Algunas de las identidades trigonométricas más comunes son:
\( \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 \)
\( 1 + \tan^2(\theta) = \sec^2(\theta) \)
\( 1 + \cot^2(\theta) = \csc^2(\theta) \)
\( \sin(\theta) = \frac{1}{\csc(\theta)} \)
\( \cos(\theta) = \frac{1}{\sec(\theta)} \)
\( \tan(\theta) = \frac{1}{\cot(\theta)} \)
\( \sin(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} \)
\( \csc(\theta) = \frac{1}{\sin(\theta)} \)
\( \sec(\theta) = \frac{1}{\cos(\theta)} \)
\( \cot(\theta) = \frac{1}{\tan(\theta)} \)
\( \cot(\theta) = \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)} \)
Las razones trigonométricas son relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo y sus ángulos. Estas razones son fundamentales para la sustitución trigonométrica, ya que permiten expresar las funciones trigonométricas en términos de las longitudes de los lados del triángulo.
Las razones trigonométricas más comunes son:
\( \sin(\theta) = \frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}} \)
\( \cos(\theta) = \frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}} \)
\( \tan(\theta) = \frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}} \)
\( \csc(\theta) = \frac{\text{hipotenusa}}{\text{opuesto}} \)
\( \sec(\theta) = \frac{\text{hipotenusa}}{\text{adyacente}} \)
\( \cot(\theta) = \frac{\text{adyacente}}{\text{opuesto}} \)
Estas razones son útiles para relacionar las funciones trigonométricas con las longitudes de los lados del triángulo rectángulo.
1. Resuelve la integral \( \int \sqrt{4 - x^2} \, dx \) utilizando la sustitución trigonométrica.
2. Resuelve la integral \( \int \sqrt{x^2 + 9} \, dx \) utilizando la sustitución trigonométrica.
3. Resuelve la integral \( \int \sqrt{x^2 - 16} \, dx \) utilizando la sustitución trigonométrica.
4. Resuelve la integral \( \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx \) utilizando la sustitución trigonométrica.
5. Resuelve la integral \( \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 4}} \, dx \) utilizando la sustitución trigonométrica.
6. Resuelve la integral \( \int \frac{1}{\sqrt{x^2 - 25}} \, dx \) utilizando la sustitución trigonométrica.
7. Resuelve la integral \( \int \frac{x}{\sqrt{4 - x^2}} \, dx \) utilizando la sustitución trigonométrica.
8. Resuelve la integral \( \int \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}} \, dx \) utilizando la sustitución trigonométrica.
En este video se explica la integración por sustitución trigonométrica de una manera sencilla y clara. Se presentan ejemplos prácticos y se resuelven paso a paso, lo que facilita la comprensión del tema. Además, se abordan las diferentes formas de sustitución trigonométrica y se muestran aplicaciones en la resolución de integrales. Es un recurso útil para estudiantes que buscan mejorar su comprensión de la integración por sustitución trigonométrica y aprender a resolver integrales de manera efectiva.
Guerrero Torres, G. (2019). Cálculo integral: un nuevo enfoque: ( ed.). Grupo Editorial Patria. https://elibro.net/es/ereader/itchetumal/121277?page=1
Hernández Sastoque, E. Escorcia Caballero, E. & Velásquez Bastidas, W. (2022). Técnicas de integración en el cálculo integral: (1 ed.). Editorial Unimagdalena. https://elibro.net/es/ereader/itchetumal/222336?page=1
Matemáticas profe Alex. (2025, 27 enero). Integrales por sustitución trigonométrica Introducción [Vídeo]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=RM6_xi9AKV8
Matemáticas profe Alex. (2025b, febrero 27). Integrales por sustitución trigonométrica | Caso 1 Ejemplo 1 [Vídeo]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=67xyWLEDmYo